Курс начертательной геометрии под редакцией В.Гордон
Новое положение точки схода следов при вращении плоскости a -- 
Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется
параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются,
но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но
бесконечно удаленную (D").
Не изменяя положения пл. 0 и взяв новый центр S1 (рис. 2), получаем
новую проекцию точки А -- точку A 1 Если же взять центр S2 на той же
проецирующей прямой SA, то проекция А останется неизменной (А " А ).
Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно
построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А ), нельзя по ней
определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка
проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного
решения, очевидно, необходимы дополнительные условия.
Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При
этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую
поверхность 2)
*) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную
проекцию -- полярной.
) В связи с этим центральные проекции также называют коническими.
Понятие о конической поверхности см. в стереометрии.
10
или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании
прямой ли-нии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все
точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).
Рис. 3 Рис. 4
Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей
поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4,
проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей
поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию
на плоскости проекций.
От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию
поверхности и тела.
Рис. 5 Рис. 6
Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить
проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию (рис. 6).
При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют
цилиндрическую поверхность; поэтому параллельные проекции также называют
цилиндрическими1).
Понятие о цилиндрической поверхности см. в стереометрии.
Рис. 7
6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит
проекции этой прямой (рис. 8: точка К принадлежит прямой, проекции К
принадлежит проекции этой прямой).
Кроме перечисленных свойств для параллельных проекций можно указать еще
следующие:
7) если прямая параллельна направлению проецирования (прямая АВ на рис.
8), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (A , она же
В );
8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется
на эту плоскость в натуральную свою величину (рис. 8: CD = C D , как отрезки
параллельных между параллельными).
В дальнейшем будут рассмотрены еще некоторые свойства параллельных
проекций, показывающие, какие натуральные соотношения в рассматриваемых
предметах сохраняются в проекциях этих предметов.
Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно
строить параллельные проекции поверхности и тела.
Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом
случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не
равный 90 ; во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к пл. пр.
При рассмотрении параллельных проекций следовало бы представить себя
удаленным на бесконечно большое расстояние от изображения. На самом же деле
предметы и их изображения рассматриваются с конечного расстояния; при этом
лучи, идущие в глаз зрителя, образуют поверхность коническую, а не
цилиндрическую. Следовательно, более естественное изображение получается
(при соблюдении определенных условий) центральным проецированием, а не
параллельным. Поэтому, когда требуется, чтобы изображение давало такое же
зрительное впечатление, как и самый предмет, применяют перспективные
проекции, в основе которых лежит центральное проецирование 1).
1) Перспективные проекции в программу данного курса не
входят. Интересующихся отсылаем к книгам: Глаголев Н. А. Начертательная
геометрия.- М: Гостехиздат, 1953; Добряков А. И. Курс начертательной
геометрии.--М.: ГТТИ, 1931.
12
Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных
проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений,
объясняют широкое применение параллельного проецирования, несмотря на
условность, указанную выше.
ї 3. МЕТОД МОНЖА
Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских
изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних
времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись
преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники
первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего
точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить
место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и
путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно
накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были
приведены в систему и развиты в труде французского ученого о ц ж а,
изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive".
Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский
геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и
государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления
Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже,
участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из
министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее
защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не
сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного
им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для
выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа
стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание
книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После
реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться
и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод
параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две
взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность,
точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и
остается основным методом составления технических чертежей.
Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным
из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем
изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения
системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях.
В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции.
В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз
оговариваться.
Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей
стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров
путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного
плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее
практическим значением.
В Институте корпуса инженеров путей сообщения1) протекала
преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова
Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано
появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с
французского языка, а затем первого оригинального труда под названием
"Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного
изложению метода ортогональных проекций.
1) Теперь Петербургский государственный университет путей
сообщения.
Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те
годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил
начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще
при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и
военных учебных заведений.
Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай
Иванович Макаров (1824--1904), преподававший этот предмет в Петербургском
технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853--1904),
который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей
сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н.
г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные
примеры применения н. г. к решению инженерных задач.
Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти
столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период
наибольшее внимание было уделено организации пртподавания, созданию трудов,
предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов
решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии
преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в
области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория
получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в
XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г.
необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться
исследовательской работе.
Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова
(1853 -- 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и
Николая Алексеевича Рынина (1877--1942), которые, уже в последние годы перед
Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию
начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная
геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых
Н.А.Глаголева (1888--1945), А. И. Д обряк ова (1895-1947), Д. Д. Морду
аи-Бо л товск ого (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова
(1885-1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и
многих других1).
рис.9 рис.10
1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по
начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.
15
торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси
проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.
Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя
перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в
пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции
точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной
системы плоскостей проекций.
Рис. 11 Рис. 12
Повернув пл. вокруг оси проекций на угол 90 (как это показано на
рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А'
расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии
связи. В результате указанного совмещения плоскостей , и 2 получается
чертеж, известный под названием эпюр1) (эпюр Монжа). Это чертеж в
системе 1,2 (или в системе двух прямоугольных проекций).
Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения
плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает
точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте
построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется
работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину,
изображенную на рис. 10.
Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно
плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние
точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от
плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси
проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам
А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ,
перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое
расстояние.
Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между
проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции,
получается возможность установить положение определяемой ими точки.
Рис. 14
Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в
основе которых лежит метод Монжа (см. ї 3), называть одним словом -- чертеж:
и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова
"чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением
(перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).
1) риге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а
женскому роду этого слова во французском языке.
16
Рис. 15 Рис. 16 Рис.17
Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20
Горизонтальная и фронтальная проекции (А1 и А") расположены
на одном перпендикуляре к оси х- на линии связи А"А', фронтальная и
профильная проекции (А" и А") -- на одном перпендикуляре к оси z - на линии
связи А"А".
Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной показано
на рис. 17. Можно воспользоваться или дутой окружности, проводимой из точки
О, или биссектрисой угла уОу.
Расстояние точки А от пл. измеряется на чертеже отрезком А"АХ или
отрезком А'"Ау, расстояние от 2 -- отрезком А'АХ или отрезком А'"Аг,
расстояние от 3 -- отрезком А'Ау или отрезком А"Аг. Поэтому проекцию А'"
можно построить и так, как показано на рис. 18, т. е. откладывая на линии
связи проекций А" и А" от оси z вправо отрезок, равный А'АХ. Такое
построение предпочтительно.
Расстояние от точки А до оси х (рис. 19) измеряется в пространстве
отрезком ААХ. Но отрезок ААХ равен отрезку A'"O (см. с. 12, пункт 8).
Поэтому для определения расстояния от точки А до оси х на чертеже (рис. 20)
надо взять отрезок 1Х.
17
Аналогично, расстояние от точки А до оси у выражается отрезком 1у и
расстояние от точки А до оси z -- отрезком /z (рис. 20).
Итак, расстояния точки от плоскостей проекций и от осей проекций могут
быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. При этом
должен быть учтен его масштаб.
Рассмотрим примеры построения третьей проекции точки по двум заданным.
Пусть (рис. 21) точка В задана ее фронтальной и горизонтальной проекциями.
Введя ось z (рис. 22:
Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23
расстояние ОВХ произвольно, если нет каких-либо условий) и проведя
через В" линию связи, перпендикулярную к оси , откладываем на ней вправо от
этой оси отрезок B'"B-, равный В'ВХ.
На рис. 23 построена проекция С' по заданным проекциям С" и С'" (ход
построения указан стрелками).
ВОПРОСЫ К її 4-5
1. Что такое "система Ї, 2" и как называются плоскости проекций и
.,?
2. Что называется осью проекций?
3. Как получается чертеж точки в системе ,, ..?
4. Что такое "система Ї, .%, Яэ" и как называется плоскость проекций
,?
5. Что такое "линия связи"?
6. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой
проекции в виде точек, выражает некоторую точку?
7. Как строится профильная проекция точки по ее фронтальной и
горизонтальной проекциям?
ї 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Модель положения точки в системе л1г 2, 3 (рис. 16) аналогична
модели, которую можно построить, зная прямоугольные координаты 1)
этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно
перпендикулярных плоскостей -- плоскостей координат. Прямые, по которым
пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка
пересечения осей координат называется началом координат и обозначается
буквой О 2). Для осей координат будем применять обозначения,
показанные на рис. 16.
Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных
углов, деля пространство на восемь частей -- восемь октантов 3).
На рис. 16 изображен один из октантов. Показано образование отрезков,
определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены
перпендикуляры к каждой из плоскостей
1) Иначе -- "декартовы координаты". Система координат
Декарта может быть прямоугольной и косоугольной; здесь рассматривается
прямоугольная система. Декарт (1596--1650) - французский математик и
философ.
2) Начальная буква латинского слова "origo" -- начало.
3) Octo (лат.) -- восемь.
18
координат. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой
1), выразится числом, полученным от сравнения отрезка АА"' (или
равного ему отрезка ОАХ на оси х) с некоторым отрезком, принятым за единицу
масштаба. Также отрезок АА" (или равный ему отрезок ОАу на оси у) определит
.вторую координату точки А, называемую ординатой 2); отрезок АА'
(или равный ему отрезок OAZ на оси ) - третью координату, называемую
аппликатой 3).
При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой х,
ордината -- буквой у, аппликата -- буквой z.
Построенный на рис. 16 параллелепипед называют параллелепипедом
координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам
сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих
трехзвенную ломаную линию (рис. 24). Надо отложить последовательно отрезки
ОАХ, АХА' и А'А или ОАУ, АуА'" и А'"А и т. п., т. е. точку А можно получить
шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.
На рис. 24 для наглядного изображения взята известная из курса черчения
средней школы проекция, называемая кабинетной 4). В ней оси х и z
взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла z.
В кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси у или параллельно ей,
сокращаются вдвое.
Рис. 25
Рис. 16 показывает, что построение проекций точки сопровождается
построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять
плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А
определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции А'
определяется координатами х и у.
Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А
определяется координатами х = 7, у= 3, z = 5. Если масштаб для построения
чертежа задан или выбран, то (рис. 25) откладывают на оси х от некоторой
точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси,
проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем
проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х.
Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по
данным ее проекциям. Например, на рис. 18 отрезок ОАХ выражает абсциссу
точки А, отрезок АХА' -- ее ординату, отрезок АХА" - аппликату.
Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость,
параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая
плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны
заданной величине (рис. 26, плоскость а).
') Abscissa (лат.) - отсеченная, отделенная.
2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
проведенная.
3) Applicata (лат.) -- приложенная.
*) Кабинетная проекция относится к числу косоугольных (подробнее см. в
ї 75).
19
Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная
соответствующей координатной оси. Например, имея заданными абсциссу и
ординату, получаем прямую, параллельную оси z (на рис. 26 это прямая АВ).
Она является линией пересечения двух плоскостей и , где --
геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит
геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны
между собой ординаты.
Рис. 26
Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. На рис.
26 показана точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, -- по заданной
ординате и -- по заданной аппликате.
Точка может находиться в любом из восьми октантов (нумерацию октантов
см. на рис. 27). Следовательно, нужно знать не только расстояние данной
точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому
надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают
относительными числами. Мы будем применять для отсчета координат систему
знаков, указанную на рис. 27, т. е. будем применять систему координат,
называемую "правой". Правая система характеризуется тем, что поворот на 90
"положительного" луча Ох (рис. 27) в сторону "положительного" луча Оу
происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на плоскость
хОу сверху).
В системе, называемой "левой", "положительный" луч Ох направлен от
точки О вправо.
При изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не
плоскости проекций, а систему некоторых трех взаимно перпендикулярных
плоскостей, непосредственно связанных с данным телом, например грани
прямоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т. п. Для
такой системы координат встречается название "внутренняя".
ї 7. ТОЧКА В ЧЕТВЕРТЯХ И ОКТАНТАХ ПРОСТРАНСТВА
В ї 4 было сказано, что плоскости 1 и 2 при пересечении образуют
четыре двугранных утла; их называют квадрантами или четвертями пространства.
На рис. 28 указан принятый порядок отсчета четвертей. Ось проекций делит
каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные
1 и -- 1, 2 и -- 2. Если, например, точка расположена во второй
четверти, то горизонтальная проекция получается на -- 1, а фронтальная --
на 2.
В дальнейшем изложении за основу для построения чертежа точки в любой
из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16).
Считают, что зритель всегда находится в первой четверти (условно -- на
бесконечно большом расстоянии от 1 и от 2). Плоскости проекций считают
непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти,
а также на полуплоскостях и 2.
20
На рис. 13 дан чертеж для случая, когда точка расположена в первой
четверти (рис. 29). Если точка одинаково удалена от и 2, то А'АХ = А"АХ.
На рис. 30 показана точка В, расположенная во второй четверти, т. е.
над -- % и сзади 2 (рис. 29). Точка В ближе к 2, чем к -- ,: на чертеже
В'ВХ < В"ВЖ. Там же
III
Рис. 28 Рис. 29
показана точка С, одинаково удаленная от -! и от 2: проекции С" и С'
совпадают между собой.
На рис. 31 дан чертеж для случая, когда точка D расположена в третьей
четверти. Горизонтальная проекция получается над осью проекций, фронтальная
проекция -- под осью проекций. Так как D'DX > D"DX, то точка D
расположена от --2 дальше, чем от --.
На рис. 32 даны точки и F, расположенные в четвертой четверти. Точка
Е ближе к ,, чем к -- 2 (рис. 29): Е"ЕХ < Е'ЕХ. Точка F одинаково
удалена от -- 2 и от ..: F'FX = F"FX.
На рис. 33 в системе ,, 2 изображены точки А и В, расположенные
симметрично относительно пл. ,. На чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные
проекции
Рис. 31 Рис. 33
таких точек совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находятся
на равных расстояниях от оси проекций: А"АХ = В"ВХ.
В практике черчения имеет место применение первой и третьей четвертей
пространства. Подробнее см. в ї 41.
На рис. 27 было показано, что плоскости координат в своем пересечении
образуют восемь трехгранных углов -- восемь октантов. Нумерация октантов
указана на рис.27. Как видно из рис.28, четверти нумеруются как I--IV
октанты.
21
Применяя для отсчета координат точки систему знаков, указанную на рис.
27, получим следующую таблицу: | Знаки координат | Знаки координат | ||||||
| У | У | z | |||||
| I | + | + | + | V | + | + | |
| + | _ | + | VI | -- | -- | + | |
| III | + | _ | _ | VII | _ | _ | _ |
| IV | + | + | - | VIII | - | + | - |
Рис. 34
На рис. 34 даны также чертежи точек: А, расположенной в первом октанте,
и С, расположенной в седьмом октанте; проекции одной и той же точки не могут
наложиться одна на другую. Для остальных октантов две или все три (для
второго и восьмого октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться
наложенными друг на друга.
Рис. 35 Рис. 36 Рис. 37
На рис. 36 плоскости 1; 2 и 4 показаны совмещенными в одну плоскость
--плоскость чертежа; полученный при этом чертеж дан на рис. 37. Помимо оси
2/ 1) введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
вытекающим из задания, как это будет показано дальше. Из точки А' проведена
перпендикулярно к оси 4/1 линия связи, на которой отложен отрезок
, равный отрезку А"АХ, т. е. расстоянию в пространстве от
точки А до пл. 1.
Рис. 38 Рис. 40
На рис. 38 показан чертеж, в котором помимо системы 5 2 дана еще
система 2, 5, т. е. в систему Пц, 2 введена дополнительная пл. 5,
перпендикулярная к 2. Теперь в обеих системах (пь 2 и 2, 5) содержится
пл. 2. Поэтому сохраняется расстояние точки А именно от пл. 2 и на чертеже
отрезок AvAxl должен быть взят равным отрезку А'АХ.
Очевидно, плоскость 3 (рис. 15) можно истолковать как дополнительную,
проведенную перпендикулярно и к 2, и к nt. Но при этом обычно помимо
системы 1; 2 рассматривают еще систему 2, 3. По аналогии с рис. 38 можно
было бы придать рис. 22 форму, показанную на рис. 39 слева, где "' = =
В'ВХ. Если же использовать вспомогательную прямую по рис. 17 (продолженную
биссектрису угла ), то построение принимает вид, указанный на рис. 39
справа. Можно ли по-ступ"ть аналогично при построении, например, проекции
(рис. 37) или (рис. 38)? Да; это показано на
рис. 40 и 41. Но здесь, конечно, угол 45 , построен-
Рис. 41
1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
При введении новой оси, например 4/1, ее обозначение - xt.
23
ный на рис. 17, не получается. Как видно из чертежей на рис. 40 и 41,
надо провести биссектрису угла, образуемого осями 2/ и K4/nt (рис. 40) и
осями 2/ и -/5 (рис. 41).
Но, как было сказано на с. 23, предпочтительными являются построения,
показанные на рис. 39 слева и на рис. 37 и 38.
В дальнейшем (ї 33) мы встретимся еще с другими примерами введения
дополнительных плоскостей для образования требуемой системы плоскостей
проекций.
Рис. 43
в какой именно точке на этой линии (если не указывается какое-либо
условие). При этом положение проекций не изменится. Действительно, проведя
ось проекций, мы выбираем некоторое положение двугранного угла ,2
относительно данной точки А (рис. 43). Перенесение оси на чертеже вверх или
вниз соответствует параллельному перемещению в пространстве двугранного угла
2 в новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
биссекторной плоскости двугранного угла1), смежного с углом 12.
Введение оси проекций (а это делается обычно в соответствии с
каким-либо условием) было показано на рис. 37 и 38: оси п3/ 1 и 2/5.
Здесь оси были нужны для построения: от них отсчитывались размеры. Вообще,
оси, если их рассматривать в первоначальном значении линий пересечения
плоскостей проекций, помогают представлению пространственной картины по
чертежу.
Базы отсчета размеров являются неотъемлемой составляющей технических
чертежей; выбор положения баз не является ограниченным и определяется,
исходя из необходимости и целесообразности.
1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
проходящая через ребро двугранного угла и делящая его пополам. Bissektor
(лат.) -- надвое рассекающий.
24
На рис. 44 слева показано, как устанавливается разность расстояний
точек А и В от плоскостей проекций пь 2 и 3. Чертеж на рис. 44 справа дан
с осями проекций.
Рис. 44
В данном примере разность расстояний точек от пл. определяется
отрезком А"1, равным А"АХ -- В"ВХ или А'"3, от пл. 2 -- отрезком В'2,
равным В'ВХ -- А'АХ или В'"3, от пл. 3 -- отрезком В"1, равным А"Аг -- В"В2
или А'2.
Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47
Каждая из проекций меньше самого отрезка: А'В' < АВ, А"В" < АВ,
А'"В'" < < АВ. Обозначая углы между прямой и плоскостями 1; 2 и 3
соответственно через 1, 2 и 3, получим
А'В' = ABcos 1, А" В" = АВ cos 2, А'" В'" = ABcos 3.
Если А'В' = А"В" = А"'В'", то прямая образует с плоскостями проекций
равные между собой углы (~ 35 )1); при этом каждая из проекций
прямой расположена
под углом 45 к соответствующим осям проек-ций или линиям связи между
проекциями.
Действительно, если (рис. 48) А'В" = А'В' и А'В' = А'"В'", то фигура
А"В"В'А' - равнобочная трапеция и В"1 = В'2, откуда В"'3 = А'"3, т. е. угол
А'"В"'3 = 45 , а так как фигура А"В"В'"А"' - параллелограмм, то каждый из
углов В"А"1 и В'А'2 равен 45 .
Как построить на чертеже без осей проекций, например, профильную
проекцию отрезка прямой линии? Построение показано на рис. 49, где слева дан
исходный чертеж отрезка АВ прямой общего положения, в середине показано
применение вспомогательной прямой, проведенной под углом 45 Ї к направлению
линии связи В"В', а справа -- построение в разности расстояний точек А и В
от пл. 2, т. е. по отрезку : задавшись положением хотя бы проекции А'"
(на линии связи А"А'"), откладываем А'"2 = и, проведя из точки 2
перпендикуляр до пересечения с линией связи проекций В" и В'", находим
положение проекции В'".
Рис. 49
1) Вывод см. в ї 13.
26
ї 11. ОСОБЫЕ (ЧАСТНЫЕ) ПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ
ПРОЕКЦИЙ
Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые
(иначе, частные) положения. Рассмотрим их по следующим двум признакам:
А. Прямая параллельна одной плоскости проекций.
Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций.
В первом случае одна проекция отрезка прямой равна самому отрезку. Во
втором случае две проекции отрезка равны ему1).
Рис. 50
Рис. 51
2. Прямая параллельна пл. 2 (рис. 51). В таком случае ее
горизонтальная проекция параллельна оси проекций и фронтальная проекция
отрезка этой прямой равна самому отрезку: C"D" = CD. Такая прямая называется
фронтальной.
Если, например, проекция C'D' совпадает с осью проекций, то это
соответствует положению отрезка CD в самой пл. 2.
') Все это, конечно, с учетом масштаба чертежа.
2) На рис. 50 справа дан чертеж без указания оси проекций.
То же сделано на рис. 51.
27
3. Прямая параллельна пл. 3 (рис. 52). В таком случае горизонтальная и
фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси
проекций Ох и профильная проекция этой прямой равна самому отрезку: E"F" =
EF. Такая прямая называется профильной.
Рис. 52 Рис. 53
Можно ли считать, что на чертежах, подобных указанным на рис. 50 и 51,
изображены отрезки именно прямых линий? Да; доказательство такое же, как для
прямой общего положения (рис. 46).
Если же на чертеже в системе 5 2 обе проекции перпендикулярны к оси
проекций, то проецирующие плоскости, проведенные через E'F и E"F", сливаются
в одну и оригиналом может быть не только прямая линия, но и некоторая
плоская кривая (рис. 53).
Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56 Рис. 57
3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. е.
перпендикулярна к
пл. nt. Проекция на пл. 3 представит собой отрезок, параллельный и
равный E"F".
На рис. 57 дано наглядное изображение положения рассмотренных прямых').
') Для этих прямых встречается название "проецирующие прямые".
28
Рис. 58 Рис. 59
Обычно строятся проекции отрезков прямой линии с указанием концевых
точек отрезка. Если же по каким-либо причинам показывают некоторую
неопределенную часть прямой линии, то практически тоже показывают отрезок
линии, но не обозначают концевых точек этого отрезка. При этом можно
пользоваться обозначением каждой проекции только одной буквой, относя ее к
какой-либо точке прямой (рис. 58): "прямая, проходящая через точку А".
Обратим внимание на чертеж слева на рис. 59. Относительно прямой,
изображенной на нем, можно сказать лишь то, что она проходит через точку L и
параллельна пл. jtj, но в остальном положение этой прямой не определяется.
Определенность была бы внесена горизонтальной проекцией, т. е. проекцией на
плоскости, по отношению к которой прямая параллельна.
Если же мы имеем дело с прямой, заданной двумя своими точками
(например, с отрезком прямой, заданным своими концами), то можно точно
определить положение этой прямой и в том случае, если не задана ее проекция
на плоскости, параллельной этой прямой. Так, например, если дан отрезок АВ
прямой (рис. 59, справа), то мы можем установить не только параллельность
этой прямой по отношению к пл. -, но и то, что точка A данной прямой более
удалена от пл. 2, чем точка В.
ї 12. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
На рис. 60 дан чертеж некоторой прямой общего положения, проходящей
через точку А. Если известно, что точка В принадлежит этой прямой и что
горизонтальная проекция точки В находится в точке В', то фронтальная
проекция В" определяется так, как показано на рис. 60.
На рис. 61 показано построение точки на профильной прямой. Положим, что
задана проекция С" этой точки; надо найти ее горизонтальную проекцию.
Построение выполнено при помощи профильной проекции А'"В"' отрезка АВ,
взятого на профильной прямой. Ход построения показан стрелками. Сначала
определена проекция С", а по ней -- искомая проекция С".
Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение
АС А С
отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 62):
Рис. 61 Рис. 62
29
как прямые АА , СС и ВВ параллельны между собой. Аналогично,
отношение отрезков на проекции прямой линии равно отношению отрезков на этой
прямой. Если бы точка делила пополам отрезок прямой, то проекция этой точки
также делила бы проекцию отрезка пополам, и наоборот.
Из сказанного следует, что на рис. 61 деление проекций А"В" и А'В'
точками С" и С' соответствует делению в пространстве отрезка АВ точкой С в
том же отношении. Этим можно воспользоваться для более простого построения
точки на профильной прямой. Если (как и на рис. 61) на проекции А"В" (рис.
63) задана проекция С", то, очевидно, надо разделить А'В' в том же
отношении, в каком точка С" делит проекцию А"В". Проведя из точки А'
некоторую вспомогательную прямую, откладываем на ней = А"С" и 1 -2 =
С"В". Проводим прямую В'2 и параллельно ей через точку 1 прямую до
пересечения с А'В' в точке С'. Эта точка представляет собой искомую
горизонтальную проекцию точки С, принадлежащей отрезку АВ.
Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66
На рис. 64 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном
отношении.
Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С' проведена
вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2 + 5) отрезков
произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D'7 и параллельно
ему через точку 2 прямую, получаем точку К', причем С'К': K'D' = 2:5; затем
находим К". Точка К делит отрезок CD в отношении 2 :5.
На рис. 65 показаны точки и , в которых прямая, заданная отрезком
АВ, пересекает плоскости проекций. Эти точки называются следами: точка --
горизонтальный след прямой, точка N -- ее фронтальный след.
Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М') совпадает с
самим следом, а фронтальная проекция этого следа М" лежит на оси проекций.
Фронтальная проекция фронтального следа " совпадает с точкой , а
горизонтальная проекция ' ' лежит на той же оси проекций.
Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо (рис. 66)
продолжить фронтальную проекцию А"В" до пересечения с осью 2/ и через
точку М" (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикуляр
к оси 2/1 до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А'В'.
Точка М' -- горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с
самим следом (= знак совпадения).
Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию
А'В' до пересечения с 2/1; через точку ' (горизонтальную проекцию
фронтального
30
следа) проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной
проекции А"В". Точка N" -- фронтальная проекция фронтального следа; она
совпадает с самим следом.
По положению точек и N можно судить, к каким четвертям пространства
отнесена данная прямая. На рис. 65 прямая АВ проходит через IV, I и II
четверти.
Прямая не имеет следа на плоскости проекций том случае, когда она
параллельна этой плоскости.
На рис. 67 прямая пересекает не только пл. 1 и 2, но и пл. 3. Точка
-- профильный след прямой, т. е. след на профильной плоскости проекций.
Этот след совпадает с его собственной проекцией на пл. 3, а фронтальная и
горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z и у.
Рис. 67
В данном случае прямая проходит за точкой через пятый октант и,
встречая далее пл. 2, уходит в шестой октант; прямая из первого октанта
выходит в четвертый октант ').
Соответствующий чертеж дан на рис. 67 справа. Прямая показана в первом
октанте -- проекции М'Р', М"Р" и М'"Р'" и в пятом октанте -- проекции '',
"" и "'"'.
Рис. 68
Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у
горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа у = 0, у
профильного следа -- 0.
Построение следов профильной прямой (рис. 68) может быть выполнено
следующим способом (рис. 68, справа).
') Условимся показывать на чертежах сплошными линиями те проекции,
которые соответствуют положению отрезка в первой четверти или в первом
октанте.
31
Строим профильную проекцию (A'"B'"), определяем положение профильных
проекций горизонтального следа (М'") и фронтального следа (N'") и затем
находим положение остальных проекций этих следов (последовательность
построения на чертеже показана стрелками).
Рис. 69
32
Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости
проекций, имеют разные знаки (рис. 69, справа), то надо иметь в виду
разность алгебраическую:
В1 = ВВ - (-АА0) = ВВ + АА .
Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол,
составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот _ угол входит в
тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной
величины отрезка.
Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в
любом месте поля чертежа. На рис. 70 показано построение, примененное Г.
Монжем:
Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72
от точки 1 отложен отрезок , равный проекции A'ff, и проведена
гипотенуза А"У, выражающая натуральную величину отрезка АВ. Угол с вершиной
в точке А" равен углу между АВ и пл. 1
На рис. 71 слева длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с пл.
1определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В'
при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*.
На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. п2,
определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В"
(А"А* = А'2). АВ = В"А*.
Ограничены ли чем-либо углы . и - для прямой общего положения? Да,
каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего
положения - + - < 90 . Действительно (рис. 72), в прямоугольном
треугольнике ""' сумма углов + - = 90 . Но в треугольниках ""'
''' при общей гипотенузе "' катет "" больше катета "' и,
следовательно, >1. Подставляя в + 2=90 угол вместо , получим
1+ 2<90 .
Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и A"B"A*. В
каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из
катетов является проекцией этого отрезка. Другой же катет равен разности
расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* - В"1
= разности расстояний от nlt a A"A* = А'2 = разности расстояний от я2).
Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и
пл. 1 (угол ), в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2).
В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и
угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол,
определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы,
составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка).
Положим (рис. 73), что AB есть заданный отрезок (на рис. 71 он
соответствует гипотенузам A'B* и B"A*). Построим на нем, как на диаметре,
окружность. Приняв точку А за вершину, построим угол (т. е. заданный угол
с пл. 1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с
треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную
проекцию отрезка AB,a катет В1 -- разность расстояний концов отрезка АВ от
пл. 1.
Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75
проведенную через точку А", дугой, радиус которой равен А1 (см. рис.
73). При этом должно получиться А"А' -- = А2.
На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь
других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить
отрезок АВ и в этих положениях.
На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О.
Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена
ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет
которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние
определяется гипотенузой О'А*.
Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной
к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в ї
10, и была указана его величина ( ~ 35 ). Ее можно определить, если
рассмотреть хотя
Рис. 76 Рис. 77
бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и
2А'В' равны каждый 45 (см. ї 10).
34
Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в_котором
катет '*=. Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = у 2 и угол
-"35 15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями 2 и 3.
Если применить то, что было сказано в ї 8, т. е. дополнить систему 1,
2 системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. 4 выразит
его натуральную величину и угол с пл. 1.
Положим (рис.77), требуется определить натуральную величину отрезка,АВ
и угол его с пл. 1. В систему 1 , 2 введена пл. 4 % 1 так, что 4
II АВ. Возникла дополнительная система 4, 1. В ней АВ \\ 4 (ось 4/
1 || А'В1); проекция выражает
натуральную величину отрезка АВ.
Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80
Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех
плоскостей проекций 1, 2 и 3. Но если даны параллельные между собой
проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность
прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и
может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей
проекций.
Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями
А'В', А"В" и CD', C"D", между собой параллельными, но самые прямые не
параллельны -- это видно из взаимного расположения их профильных проекций,
построенных по заданным проекциям.
Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости
проекций, по отношению к которой данные! прямые параллельны.
На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные
прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей
35
проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных
обозначений.
Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную
данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через
точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой, параллельной
L'M'.
Рис. 81
В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые
расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.
,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их
одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является
проекцией точки пересечения этих прямых.
Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD,
то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных
прямых.
Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между
собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения,
независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций.
Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения
одноименных
Рис. 82 Рис. 85
проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей
оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис, 84), эти точки
оказались бы на линии связи установленного для нее направления. Но если одна
из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже
не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые
пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие.
Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD
параллельна пл. 3, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено
построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в
данном отношении.
36
Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей для
них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. я-. Поэтому фронтальные
проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не
параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые
общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но
точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной
линиям связи L"L' и М"М', т. е. эти прямые не пересекаются между собой.
Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся.
Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций
скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из
которых одна
принадлежит первой, а другая -- второй из этих скрещивающихся прямых.
Например, на рис. 87 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой АВ, а
точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково
удалены от пл. 2, но расстояния их от пл. , различны: точка с проекциями
L" и L' дальше от nt, чем точка с проекциями К" и К' (рис. 88).
Точки с проекциями ", ' и ", ' одинаково удалены от пл. 1, но
расстояния этих точек от пл. 2 различны.
Точка с проекциями L" и L', принадлежащая прямой CD, закрывает собой
точку с проекциями К" и К' прямой АВ по отношению к пл. ^ соответствующее
направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. 2
точка с проекциями " и ' прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и
М' прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N'.
Обозначения проекций "закрытых" точек помещены в скобках1).
Рис. 91 Рис. 92
На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на
рис. 90, в пространстве прямые.
В каком случае проекции прямого угла на двух плоскостях проекций
представляют собой прямые утлы? Это бывает, когда одна сторона прямого угла
перпендикулярна к третьей плоскости проекций (тогда другая его сторона
параллельна этой плоскости). Призер дан на рис. 91: сторона АС
перпендикулярна к 3, сторона ВС параллельна 3.
Пользуясь сведениями оЇпроецировании прямого угла, о дополнении системы
я,, 2 системой 4, , (ї 8) и о расположении проекций прямой, параллельной
одной из плоскостей проекций (ї 11), мы можем выполнить следующее
построение: провести через некоторую точку А прямую так, чтобы она пересекла
данную прямую под углом 90 . Решение показано на рис. 92, где слева дано
исходное положение, в середине показано образование, кроме си-
') Согласно прямой теореме о трех перпендикулярах: если KL C K, то KLJL
С К. Согласно обратной теореме: если K.LLCK, то KLJ-C K.
2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
предыдущим изданиям книги.
38
стемы 1, 2, еще одной системы 4, 1, причем пл. 4%ВС, а справа
выполнено построение прямой AKLBC.
Так как пл. 4% ВС, что обеспечивается проведением оси 4/1,
параллельно B'C', то прямой угол АКВ (или АКС) проецируется на пл. 4 в виде
прямого же угла AIVKIVBIV. Построив
проекции точки A и прямой BC на пл. 4, проводим
AIVKIV % BIV CIV, а затем
получаем проекции К' и К" и проекции А'К' и А"К" (ход построения указан
стрелками).
Можно ли считать, что, построив перпендикуляр АК к прямой BC, мы
определили расстояние от А до BC? Нет, мы только построили проекции отрезка
АК; ни одна из них не определяет величинц расстояния. Если надо определить
величину отрезка АК, т. е. расстояние от A до BC, то надо продолжить
построение, применив хотя бы способ, изложенный в ї 13. . Ї
5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости
проекций, то проекция тупого угла на эту плоскость представляет собой тупой
угол, а проекция острого угла -- острый угол.
Предположим, что прямая СВ (рис. 93) параллельна плоскости проекций.
Рассмотрим тупой угол КСВ или острый угол МСВ и проведем в плоскости этого
угла прямую CL% СВ. Так как угол LCB-- прямой, то его проекция -- угол LC B
Рис. 93 Рис. 94
представляет собой также прямой угол. Этот угол заключен внутри угла
КС В и заключает внутри себя угол МС В , следовательно, угол КС В --
тупой, а угол МС В -- острый. Таким образом, проекция угла представляет
собой угол с тем же названием (прямой, тупой или острый), что и сам угол,
если хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций. Вообще же
проекция любого угла может представлять собой или острый, или прямой, или
тупой угол, в зависимости от положения утла относительно плоскости проекций.
6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
проекция равна по величине проецируемому углу.
Это следует из равенства углов с параллельными и одинаково
направленными сторонами.
Поэтому, например, угол между прямой АВ (рис. 50, с. 27) и пл. 2 легко
определить: это - угол между проекцией А 'В' и осью х; таким же образом угол
между CD и пл. 1 (рис. 51) определится как угол между C"D" и осью х, угол
между EF (рис. 52) и пл. 2 -- как угол между E"'F'" и осью z.
Для прямого угла равенство между его проекцией и самим углом имеет
место и тогда, когда лишь одна сторона прямого угла параллельна плоскости
проекций.
Но для острого или тупого угла, у которого одна сторона параллельна
плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При
этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого
больше проецируемого угла.
Пусть (рис.94) угол А 1ВС -- острый и его сторона СВ параллельна пл.
0; С В || СВ. Пл. , проведенная через точку С перпендикулярно к СВ,
перпендикуляр-
39
на к пл. 0, пересекая последнюю по прямой п , проходящей через С и
перпендикулярной к С В , Если провести через точку В различные прямые под
тем же самым острым углом к прямой СВ, то все эти прямые будут пересекать
пл. в точках, проекции которых расположатся на прямой п . Положим, что
прямые АВ и А1В составляют с прямой СВ равные между собой утлы: " ABC = "А
1ВС. Если при этом АВ параллельна плоскости 0, то" А В С =" ABC. Если же
сторона А 1В не параллельна 0, то проекция точки At получится на прямой и
ближе к С , чем проекция точки А. Следовательно, проекция угла A1BC
представляет собой угол, меньший угла А В С , т. е. "А 10В С
< "А1BC
7. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково
наклонены к ней. то деление проекции угла на этой плоскости пополам
соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.
8. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и
его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью
проекций равные углы').
9. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то
угол-проекция не может равняться проецируемому углу.
Это (рис. 95) можно устаноэить путем совмещения угла MKN с пл. я„
при вращении вокруг прямой . При этом угол окажется внутри угла МК^,
а вершины К„ и К -- на общем перпендикуляре к .
Рис. 95 Рис. 96
10. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу
не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.
Из рис.96 видно, что все углы, например острый угол и тупой угол
MKNit стороны которых соответственно расположены в проецирующих плоскостях
и , имеют своей проекцией угол, равный углу MLN, причем эти углы могут
приближаться к 0 и к 180 . Очевидно, среди этих углов может оказаться угол,
равный своей проекции.
Пример построения такого угла дан в ї 38.
Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101
Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской
фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл.
определена точками А, В к С (рис. 101). Проведя прямые линии через
одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D,
взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит, пл, ; проводя прямую через
точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл. (например, через
точку С), получаем еще одну прямую в пл. .
Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки,
принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов.
В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости
проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются
между собой.
42
Рис. 102 Рис. 103 Рис. 104
,' и 2 прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения
плоскостей и 1|.
Линия пересечения плоскостей и 2 определяется фронтальными следами
прямых АВ " СВ.
Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций,
называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или, короче,
следами плоскости.
На рис. 103 изображена пл. о, пересекающая горизонтальную плоскость
проекций по прямой, обозначенной h'о и фронтальную плоскость --
по прямой f"о. Прямая h'о называется горизонтальным
следом плоскости, прямая f"о -- фронтальным следом плоскости.
Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси получается точка
пересечения следов плоскости'). Так, на рис. 103 следы f"о и
h'о пересекаются на оси в точке, обозначенной Ха.
След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на
этой плоскости. След h'о " hо (рис. 103) сливается со своей
горизонтальной проекцией; фронтальная проекция этого следа располагается на
оси проекций. След f"о "fо сливается со своей фронтальной
проекцией; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси
проекций.
На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов. Можно
ограничиться обозначением только самих следов (рис. 104). Такой чертеж
нагляден и представляет удобства при некоторых построениях.
При построении следов плоскости точка их пересечения может быть
использована для проверки построения: оба следа должны пересекаться между
собой в точке на оси проекций (см. рис. 102).
Угол между следами на чертеже не равен углу, образованному следами
плоскости в пространстве. Действительно, в пересечении следов находится
вершина трехгранного угла,
') Для нее встречается название "точка схода следов".
43
две грани которого совпадают с плоскостями проекций (рис. 103). Но
сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.
Поэтому угол, образованный следами f"о и h'о на
чертеже (рис. 104), всегда больше угла между этими следами в пространстве.
Если рассматривать плоскость в системе ль 2, 3, то в общем случае
плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 105: пл. а пересекает оси
х, у и z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения. След
"'"р o называется профильным следом плоскости.
Так как точки Х„ , и " лежат соответственно на осях х, у и z,
то для построения чертежа плоскости в
системе ль 2, 3 достаточно иметь заданными отрезки ОХК OYa и
О2„ т. е. знать координаты точек Х„ У" и Z" в системе осей х, у,
z. Дело сводится лишь к Одной координате для каждой из этих точек, так как
две другие координаты равны нулю. Например, для построения точки . надо
знать лишь ее аппликату: абсцисса и ордината этой точки равны нулю.
Рис. 105 Рис. 107
Рис. 106
нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в
данной плоскости.
Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая
принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними
следах плоскости (рис. 107).
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она
параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую
точку (рис. 108).
Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для
построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой
плоскости. Это не требуется.
Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости,
заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM
должна быть параллельна пл. 1. Построение начато с проведения проекции
А"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', и
затем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельна
пл. , и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М),
заведомо принадлежащие этой плоскости.
Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того
чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной
плоскости, и на этой прямой берут точку.
Рис. 109 Рис. 110
Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее
горизонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать в
плоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110).
Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы
точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в
данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечают
точку М', в которой прямая A'D' пересекает отрезок В'С. Построив фронтальную
.проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости:
эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо
принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.
Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной
проекции прямой AM.
Другой пример дан на рис. 111, В пл, , заданной параллельными прямыми
АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная
проекция -- точка К'.
45
Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве
горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам и F строим Е"
на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. , так как
проходит через точки и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять
точку К" на E"F", то точка К окажется в пл. .
К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем
горизонтали, фронтали1) и линии наибольшего наклона к плоскостям
проекций. Линию наибольшего наклона к пл. , будем называть линией ската
плоскости2).
Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
горизонтальной плоскости проекций.
Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуется
провести горизонталь через вершину А (рис. 112).
Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, то
фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Для
построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим .точку К' и
проводим прямую через точки А' и К'.
Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной
плоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки,
заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций ,.
Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.
Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая"
горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости
сводится
Рис. 112 Рис. 113
к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному
следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали
параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция
горизонтали параллельна оси проекций.
Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
плоскости проекций п2.
Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построение
выполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112).
Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с
проведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так как
направление
') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать
также ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости и
параллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямых
встречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечает
обычному представлению только о горизонтальности.
2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
наибольшего ската", но понятие "скат" по отношению к плоскости не требует
добавления "наибольший)".
Рис. 114
двугранного, образованного плоскостями и .. Следовательно, линия
ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к
плоскости проекций nt.
Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 2 служит для
определения угла между этой плоскостью и пл. 2, а линия наибольшего наклона
кЇ пл. 3 - для определения угла с пл. 3.
На рис. 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл. с
пл. , выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В' и, горизонтальной
в виде отрезка К'В'. Определить величину этого угла можно, построив
прямоугольный треугольник по катетам, равным К'В' и В"В'.
Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этой
плоскости. Например, если (рис, 115) заданна линия ската KB, то, проведя
перпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций
и проведя h'о% К'В', мы вполне определяем плоскость, для
которой KB является линией ската.
47
Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главным
образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных
построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой
построения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качестве
вспомогательных.
На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К' точки К. Требовалось
найти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости,
заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В.
Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку К
и лежащая л заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь MN:
ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К'. Затем
построены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали.
Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N".
На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции A" точки А,
принадлежащей пл. а, найдена ее горизонтальная проекция (А1);
построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справа
аналогичная задача решена при помощи' фронтали MN.
Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащей
некоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия ската
плоскости (AB) и горизонтальная проекция точки (К'). {Справа на рис. 118
показано построение: через точку К' проведена (перпендикулярная А'В')
горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, по
точке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомая
проекция К".
На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоской
кривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. а, в которой эта
кривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек,
находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекции
кривой.
Стрелками показан ход построения фронтальной проекции A" по
горизонтальной проекции А'.
48
Рис. 120
Если плоскость общего положения должна быть одинаково наклонена к
плоскостям 1 , 2 и 3, то (см. рис. 105), очевидно, , -- = ,, т.е.
следы составляют с осями проекций углы 45 .
Рассматривая плоскость общего положения в пространстве в пределах
первой четверти или первого октанта, замечаем, что угол между горизонтальным
и фронтальным следами может быть острым (см. рис. 105) или тупым (рис. 121).
Пл. , изображенная на рис.121, проходит через все октанты, кроме
шестого.
Если чертеж плоскости общего положения строить по координатам точек
пересечения следов, то, очевидно, на рис. 121 должны быть заданы
положительные абсциссы и ордината точек Х и У и отрицательная аппликата
точки .
На рис. 122 изображен частный случай плоскости общего положения -- ее
следы h'о и f"о , на чертеже лежат на одной прямой.
Вспоминая схему совмещения плоскостей проекций (рис. 15 на с. 17), заметим,
что следы h'о и f"о, образуют равные углы с осью
не только на чертеже, но и в пространстве. Как показано на рис. 122 справа,
из равенства прямоугольных треугольников КК'Х и К"К'Х следует, что угол KX
К' равен углу ' ", . е. след f"о - образует . с осью
такой же угол, как и след h'о .
Отсюда пл. образует равные углы с плоскостями 1 и 2. Часть пл. ,
находящаяся в первой четверти, содержит в себе натуральный угол между
h'о и f"о (в нашем примере -- тупой).
На рис. 122 показано также построение третьего следа плоскости (р0) по
заданным двум ее следам h'0, и f",.Вследствие того, что следы h'0a и
f"о лежат на одной прямой, точка Z, сливается с точкой У и,
следовательно, точка У1 оказывается на таком же расстоянии от точки О, на
каком находится точка Z,; поэтому след р"'о, наклонен под углом 45 к оси
.у (и к оси z); именно такой наклон профильного следа будет получаться во
всех случаях построения
Рис.121 
Рис 122
плоскости, у которой на чертеже горизонтальный и фронтальный следы
лежат на одной прямой, пересекающей ось под острым углом.
Такая плоскость проходит через перпендикуляр к оси х, составляющий с
пл. 2 (или с 1 ) угол 45 . А так как этот перпендикуляр является
перпендикуляром к биссекторной плоскости двугранных углов, смежных с углом
1 2 , то рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
перпендикулярная к биссекторной плоскости второй и четвертой четвертей
пространства ')
') Интересующихся более подробным изложением отсылаем к предыдущим
изданиям этой книги.
50
2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
то возможны три случая частных положений.
а) Плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Такие
плоскости называются горизонтально-проецирующими.
Пример дан на рис. 123: плоскость задана проекциями треугольника ABC.
Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 2
равен углу между заданной плоскостью и пл. 2.
На рис. 124 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости
ее следами: слева дано наглядное изображение, в середине -- чертеж в системе
Рис. 123
1, 2 с указанием оси и следов f"о и h'о
справа -- без указания оси и, следовательно, следа f"о .
Фронтальный след перпендикулярен к пл. 1 и к оси проекций х.
Горизонтальный же след может составлять с осью проекций любой угол; этот
угол служит линейным углом двугранного между горизонтально-проецирующей
плоскостью и пл. 2.
Угол между hо и fо , а также угол между h0 и ро в пространстве
равен 90 .
Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее
горизонтальная проекция должна быть на горизонтальном следе плоскости. Это
относится и к любой системе точек, расположенных в
горизонтально-проецирующей плоскости, будь то прямые линии, плоские кривые
или фигуры.
След hо" ' можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.
б) Плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Такие
плоскости называются фронтально-проецирующими.
Пример дан на рис. 125: плоскость задана проекциями треугольника DEF.
Фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 1 равен
углу между DEF и пл. 1.
Рис. 125 Рис. 126
На рис. 126 слева дано наглядное изображение, в середине -- .чертеж в
системе 1, 2 указанием оси проекций, справа -- без указания оси проекций.
Горизонтальный след перпендикулярен к пл. 2 и к оси проекций. Фронтальный
же след мо-
51
жет составлять с осью проекций любой угол; этот угол служит линейным
углом двугранного между фронтально-проецирующей плоскостью и пл. 2.
Угол между fо и hоy в пространстве равен 90 ,
Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее
фронтальная проекция должна быть на фронтальном следе плоскости. Это
относится и к любой системе точек. След fо " " (рис. 126) можно
рассматривать как фронтальную проекцию пл. .
в) Плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие
плоскости называются профильно-проецирующими.
На рис. 127 дан пример профильно-проецирующей плоскости: плоскость
задана проекциями треугольника ABC. Горизонталь этой плоскости расположена
перпендикулярно к пл. 3: проекции "D" и А'D ' взаимно
параллельны. Это служит признаком того, что перед нами
профильно-проецирующая плоскость, а не плоскость общего положения (сравните
с рис. 112).
Профильная проекция треугольника ABC представляет собой отрезок прямой
линии. Угол 1 между этим отрезком и линией связи С"С" равен углу наклона
